Las diferencias de motivación y objetivos entre las matemáticas puras y las aplicadas, y las consiguientes diferencias de énfasis y actitud, deben reconocerse plenamente. En las matemáticas puras, a menudo se trata de conceptos tan abstractos que la lógica sigue siendo la única herramienta que permite juzgar la corrección de una teoría. En las matemáticas aplicadas, la verificación empírica es un juez necesario y poderoso.

Si el problema matemático formulado no puede resolverse con los métodos existentes, o la naturaleza de su solución no puede entenderse adecuadamente con la teoría existente, hay que desarrollar nuevos métodos y nueva teoría. (Muchos problemas no lineales están en esta categoría.) Por lo tanto, registramos una cuarta parte de las matemáticas aplicadas:

Hay que reconocer que, a medida que se desarrolla la teoría matemática, los primeros teoremas demostrados pueden no producir un impacto en la matemática pura, pero deben ser apreciados como un logro útil para los fines de la matemática aplicada. Por otra parte, mucha matemática pura de segunda categoría se esconde bajo las apariencias de la matemática aplicada (y viceversa). Como siempre, se necesita conocimiento y gusto si se quiere asegurar la calidad.

La distinción entre un científico teórico y un matemático aplicado es a menudo borrosa, porque cada uno puede trabajar en el espíritu del otro. Un físico teórico, cuando su problema no puede resolverse mediante un ataque frontal, a veces se dedica a estudiar problemas de modelos matemáticos relacionados; incluso hasta el punto de seguir las prácticas de los matemáticos puros; para adquirir confianza y juicio en la comprensión de los aspectos matemáticos del problema físico real.

Es frecuente que un científico teórico, a partir de un largo estudio de su tema particular, tenga un conocimiento más profundo de una determinada disciplina. Un matemático aplicado, por el contrario, puede trabajar en más de una disciplina y hacer uso de cada una de ellas. De hecho, en estos tiempos de creciente especialización, la fertilización cruzada es una de las actividades más útiles y satisfactorias de un matemático aplicado.

En general, un físico teórico (por ejemplo) se siente más atraído por el descubrimiento de nuevas leyes y principios físicos y, por tanto, aprecia más los estudios relacionados con ellos, incluso cuando el intento sólo tiene un éxito parcial. Su trabajo suele ser más inductivo y de naturaleza más especulativa. El matemático aplicado se interesa más por las descripciones matemáticas adecuadas de los fenómenos. Tiende a derivar las consecuencias de las leyes y principios conocidos.

Sin embargo, es un tema muy atractivo para los matemáticos aplicados, que aprecian el reto de los problemas no lineales implicados, así como el interés científico inherente al fenómeno.

Las Matemáticas Aplicadas a la Ingeniería

La comprensión de los conceptos básicos es tan útil para el ingeniero como para el científico. Pero para el ingeniero dicha comprensión es sólo un medio para lograr el fin de diseñar estructuras, máquinas y procesos para realizar determinadas tareas con eficacia y fiabilidad.