Cervantes Ciencias Vol 114 p. 2

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Teorema de Incompletitud de Gödel (1931)- PRIMERA PARTE


Uno de los grandes logros matemáticos del siglo XIX fue el descubrimiento de la geometría hiperbólica, es decir, de una geometría en la que el axioma de las paralelas es falso.


A partir de los restantes axiomas de la geometría euclidiana se puede demostrar que, dada una línea recta y un punto que no está en la línea, existe al menos una línea paralela a la línea dada y que pasa por el punto dado (que es la línea perpendicular a la perpendicular). El axioma de las paralelas establece que sólo hay una línea paralela, y su negación implica que existen más de una.


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Sin embargo, aunque extraña, la geometría hiperbólica no parecía ser contradictoria, y en 1.868, Eugenio Beltrami demostró que es tan consistente como la geometría euclidiana: de hecho, es posible encontrar un modelo del plano hiperbólico dentro del plano euclidiano.


Los modelos más famosos de la geometría hiperbólica fueron hallados posteriormente por Félix Klein en 1.871 y por Henri Poincare en 1.882. En ambos casos el plano hiperbólico es un círculo sin su frontera. En el primer modelo, las líneas son segmentos euclidianos, pero los ángulos deben medirse de forma diferente; en el segundo modelo, los ángulos son euclidianos, pero las líneas son arcos de un círculo perpendicular a la frontera.



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Por ejemplo, en el libro Elementos, Euclides representaba los números como segmentos, la suma como la concatenación de segmentos, la multiplicación como el área de un rectángulo, etc.


La reducción en sentido contrario, de las matemáticas al álgebra, fue impulsada por la geografía y la astronomía. En el siglo II a.C., Hiparco, el descubridor de la precesión de los equinoccios comenzó a utilizar coordenadas de puntos para describir curvas dadas, pero sólo con respecto a un sistema elegido cada vez, dependiendo de la curva.


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La introducción de una notación algebraica satisfactoria, y en particular el uso de letras para indicar las variables, permitió a Pierre de Fermat en 1.629, y a René Descartes en 1.637, desarrollar la geometría analítica.


La observación crucial fue que, al asociar puntos con números, se obtenía también una correspondencia inducida entre las propiedades de los puntos y los números. Por ejemplo, las ecuaciones de primer y segundo grado describen, respectivamente, las rectas y las cónicas (elipses, hipérbolas, parábolas).


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¡La próxima semana continuamos con esta interesante produccción!


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