Cervantes Ciencias Vol. 115 p. 2

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En el número del domingo anterior, les veniamos contando sobre los inicios de la geometría hiperbólica, y en esta edición te seguiremos presentando esos detalles que, cada día la hicieron más compleja y fascinante.



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La reducción real de la geometría al álgebra no se produjo hasta 1.899, con la obra de Hubert, Fundamentos de la geometría. Allí definió un modelo algebraico de la geometría euclidiana tal y como se hace actualmente:


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A finales del siglo XIX, la consistencia de esta geometría se había reducido a la de la teoría de los números reales. Este juego de pasar la pelota podría seguir, por ejemplo, reduciendo la teoría de los números reales a la de los enteros. De hecho, esto lo habían hecho unas décadas antes Karl Weierstrass, Georg Cantor y Richard Dedekind, lo que llevó a Leopold Kronecker a declarar:


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Pero tarde o temprano habría sido necesario demostrar la consistencia de alguna teoría directamente, y por métodos tan elementales que su propia consistencia no pudiera ser cuestionada. Y así, en los albores del siglo XX, el segundo problema de Hilbert pedía una prueba directa de la consistencia de la teoría de los números, los reales o los enteros.


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En particular, ninguna teoría consistente (que contenga la teoría de los enteros) puede ser al mismo tiempo completa, en el sentido de que todas las verdades matemáticas expresables en su lenguaje puedan ser demostradas en la teoría; además, una de las verdades que no pueden ser demostradas es precisamente su propia consistencia. Por esta razón, el resultado de Gödel se denominó teorema de incompletitud.

La imposibilidad de demostrar la consistencia de una teoría desde dentro de la propia teoría no excluye la existencia de pruebas externas, aunque convincentes, y no cierra, por tanto, el segundo problema de Hilbert.


En particular, una prueba de consistencia significativa, aunque obviamente no elemental, de la teoría de los números enteros fue dada en 1.936 por Gerhard Gentzen. Su resultado es el punto de partida de la teoría cuyo objetivo es la búsqueda de pruebas de consistencias similares para teorías más fuertes.



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Desde mi área, he buscado contextualizar el conocimiento matemático para que toda la comunidad construya un aprendizaje significativo. Recuerda que en HIVE me consigues como @abdulmath.


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En primer lugar hablaremos de Charles Babbage, quién se destacó como inventor, matemático, ingeniero mecánico y filósofo. Nació en Londres, el 26 de diciembre del año 1791, en una época donde aún no existía la electrónica, pues todo se realizaba mediante procesos mecánicos.


Zuse fue un Ingeniero Civil alemán, que nació en Berlín el 22 de junio de 1910. Realizó varios modelos de computadoras, entre ellos se encuentran los llamados Z1, Z2, Z3 y Z4.


Alan Turing fue un matemático y filósofo nacido en Londres el 23 de junio de 1912. En el año de 1936, presentó un escrito en el que aseguraba que era posible crear una máquina que realizara cálculos matemáticos.




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