A raíz de los Fundamentos de Hilbert se podía definir una «geometría» eligiendo un conjunto de términos primitivos -que, puesto que se trata de una geometría, podríamos llamar también punto, línea, entre otros- y un conjunto coherente de axiomas, y deduciendo lógicamente las consecuencias de los axiomas, que son entonces teoremas de la geometría. Este tipo de consideraciones dieron lugar, en el siglo XIX y principios del XX, a geometrías desarguesianas, no desarguesianas, finitas, neutras, no arquimedianas e inversas.
Pronto se empezaron a describir (definir) a la manera de Hilbert estructuras matemáticas distintas de las geometrías. Así, Giuseppe Peano caracterizó los enteros positivos en 1.889 mediante los ya clásicos axiomas de Peano, y Hilbert, en 1.900, dio una caracterización de los números reales como un campo arquimédico completo ordenado.
Los espacios topológicos, los anillos normados, los espacios de Hilbert y los retículos son algunos de los muchos ejemplos de estructuras matemáticas definidas por sistemas de axiomas. Estas estructuras, a diferencia de por ejemplo, la geometría euclidiana, los números naturales o los números reales, no caracterizan una entidad matemática única, sino que subsumen muchos objetos diferentes, normalmente infinitos, bajo el techo de un único conjunto de axiomas.
Nicolas Bourbaki, uno de sus más hábiles practicantes y promotores, dio una elocuente descripción de la esencia del método axiomático en lo que fue quizás el apogeo de su poder, en 1950:
En su artículo, Bourbaki presenta una visión panorámica de las matemáticas organizada en torno a lo que él llama estructuras madres -algebraicas, ordenadas y topológicas- y a diversas subestructuras y estructuras cruzadas. Esta perspectiva debió de ser muy atractiva, e incluso hechizante, para aquellos que crecían matemáticamente durante este periodo.
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